$$\lim_{n\rightarrow \infty} (1+1/n)^n = e$$
- 对空集做 reduce_max 返回 -∞，reduce_min 返回 +∞，这不是随意约定，而是幺半群（Monoid）单位元的必然结果
- 数学原理：max 在扩展实数域
$$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup {-\infty, +\infty}$$ 上构成交换幺半群$$(\overline{\mathbb{R}}, \max, -\infty)$$ ，其中 -∞ 是单位元；min 则是$$(\overline{\mathbb{R}}, \min, +\infty)$$ - 单位元必须满足：$$\max(a, -\infty) = a$$，$$\min(a, +\infty) = a$$，对空集做 reduce 等价于无元素的累积运算，结果只能是单位元
- 同理：空集求和 = 0（加法单位元），空集求积 = 1（乘法单位元）
- 推广：$$\sup \emptyset = -\infty$$，$$\inf \emptyset = +\infty$$（扩展实数域上的上确界/下确界）
- 参考：Empty set - Wikipedia
- 关于10进制有效数字位数可用下面这个公式来估算：
$$n \approx log_{10}(2^m) = m \times log_{10}(2) \approx m \times 0.3010$$
- 对于一个数 X 和一个2的幂 P ，$$X % P = X & (P - 1)$$
- 约 68.27% 的数值落在 μ ± 1σ 的范围内。
- 约 95.45% 的数值落在 μ ± 2σ 的范围内。
- 约 99.73% 的数值落在 μ ± 3σ 的范围内。
-
UCB的公式是基于霍夫丁不等式（Hoeffding Inequality）推导而来的。
-
假设有N个范围在0到1的独立有界随机变量，$$X_1, X_2, \cdots, X_N$$，那么这N个随机变量的经验期望为$$ \bar{X} = \frac{X_1 + \cdots + X_N}{N} $$
-
满足如（式5 - 4）所示的不等式：$$ P(|\bar{X}-E[\bar{X}]| \geq \epsilon) \leq e^{-2N\epsilon^2} \quad (式5 - 4) $$
-
那么，霍夫丁不等式和UCB的上界有什么关系呢？令
$$\epsilon = \sqrt{\frac{2\log t}{N}}$$ ，并代入（式5 - 4），可将霍夫丁不等式转换成如（式5 - 5）所示的形式： $$ P\left(|\bar{X}-E[\bar{X}]| \geq \sqrt{\frac{2\log t}{N}}\right) \leq t^{-4} \quad (式5 - 5) $$ -
从（式5 - 5）中可以看出，如果选择UCB的上界是
$$\sqrt{\frac{2\log t}{N}}$$ 的形式，那么$$\bar{X}$$ 的均值与$$\bar{X}$$ 的实际期望值的差距在上界之外的概率非常小，小于$$t^{-4}$$，这就说明采用UCB的上界形式是严格且合理的。 --> UCB根据变量的上界进行exploration
-
-
核心思想：即使我们对数据的分布一无所知（它完全可以不是正态分布），切比雪夫不等式也为我们提供了一个关于数据偏离均值的概率的“下限保证”。
-
切比雪夫不等式是统计学中一个非常强大的定理。它指出，对于任何一个具有有限期望 μ 和有限非零方差 σ² 的随机变量 X ，对于任何实数 k > 0 ，以下不等式成立：
- P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²
- 这个公式描述的是 数据落在 k 个标准差之外 的概率。我们通常更关心它落在 范围之内 的概率，所以我们使用它的等价形式：
- P(|X - μ| < kσ) ≥ 1 - 1/k²
- P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²
-
这个公式的强大之处在于，它对分布形状没有任何要求。
-
让我们来看几个 k （对应代码中的 std_scale ）的例子：
-
当 k = 2 ( std_scale = 2 )： P(|X - μ| < 2σ) ≥ 1 - 1/4 = 0.75 。
- 数学含义 ：无论数据是什么鬼样子， 至少有 75% 的数据点落在均值的 2 个标准差范围内。
-
当 k = 3 ( std_scale = 3 )： P(|X - μ| < 3σ) ≥ 1 - 1/9 ≈ 0.889 。
- 数学含义 ： 至少有 88.9% 的数据点落在均值的 3 个标准差范围内。
-
当 k = 4 ( std_scale = 4 )： P(|X - μ| < 4σ) ≥ 1 - 1/16 ≈ 0.9375 。
- 数学含义 ： 至少有 93.75% 的数据点落在均值的 4 个标准差范围内。
-
-
定义: 描述了在
$n$ 次独立的伯努利试验中，成功次数为$k$ 的概率。每次试验只有两种结果（成功/失败），且单次成功的概率为$p$ 。 -
概率质量函数 (PMF): 随机变量
$X \sim B(n, p)$ ，在$n$ 次试验中恰好成功$k$ 次的概率为：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$ -
核心性质:
-
期望 (均值):
$E[X] = np$ -
方差:
$Var(X) = np(1-p)$
-
期望 (均值):
- beta分布是伯努利分布的共轭先验分布
- 共轭先验分布的概念：根据先验分布计算后验分布，后验分布和先验分布属于同一个分布族
- 应用：Thompson sampling
核心结论：样本均值
直观理解：
-
平均作用抵消波动：当你取平均值时，极大的数和极小的数会相互抵消，使得平均值
$\bar{Y}$ 比单个样本$Y_i$ 更稳定（波动更小）。 -
大数定律：样本量
$N$ 越大，平均值越接近真实的总体均值，其波动范围（方差）就越小。如果$N$ 无穷大，方差趋近于 0，均值就变成了一个确定值。
推导过程：
-
定义：假设有
$N$ 个独立同分布 (i.i.d) 的随机变量$Y_1, Y_2, ..., Y_N$ ，每个变量的方差都是$\sigma^2$ ，即$Var(Y_i) = \sigma^2$ 。 - 样本均值公式：$\bar{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} Y_i = \frac{Y_1 + Y_2 + ... + Y_N}{N}$
- 计算方差： $$ \begin{aligned} Var(\bar{Y}) &= Var(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} Y_i) \ &= \frac{1}{N^2} Var(\sum_{i=1}^{N} Y_i) \quad \text{(常数提取性质: } Var(kX) = k^2 Var(X) \text{)} \ &= \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} Var(Y_i) \quad \text{(独立性: 独立变量和的方差等于方差的和)} \ &= \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} \sigma^2 \ &= \frac{1}{N^2} \cdot (N \cdot \sigma^2) \ &= \frac{\sigma^2}{N} \end{aligned} $$
用于判断样本观测结果是否支持某个假设（如 AB Test 中“新策略比旧策略好”），排除随机波动的干扰。
推断还要包含“方案、指标和停止时间怎样选出来”：同一批数据既负责选优又负责证明赢家，普通 P 值和置信区间可能失去原有保证，见 选优后的统计推断。A/B 中的落地流程见 实验设计。
- 定义：描述观测值距离总体均值有多少个标准差。用于衡量数据点在分布中的相对位置。
-
公式：$$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$
-
$$\bar{x}$$ : 样本均值 -
$$\mu$$ : 总体均值（或原假设下的均值，如 0） -
$$\sigma$$ : 总体标准差 -
$$n$$ : 样本量
-
-
解读：
-
$$z > 0$$ : 高于均值；$$z < 0$$: 低于均值。 -
$$|z|$$ 越大，偏离均值越远，发生该事件的概率越低（在$$H_0$$ 成立时）。
-
-
定义：在原假设 (
$$H_0$$ ) 成立的前提下，观察到当前样本统计量（或更极端情况）的概率。 -
解读：
- P 值是反对原假设的证据强度。P 值越小，拒绝
$$H_0$$ 的理由越充分（结果越显著）。 - 通常设定显著性水平
$$\alpha$$ (如 0.05)：-
$$P < 0.05$$ ：统计显著 (Significant)，拒绝$$H_0$$ （认为差异真实存在）。 -
$$P \ge 0.05$$ ：不显著 (Not Significant)，不能拒绝$$H_0$$ （可能是真的没区别，也可能是样本量太小，Power 不足）。
-
- P 值是反对原假设的证据强度。P 值越小，拒绝
-
Z-score 与 P-value 的关系 (在正态分布下)：
-
$$|z| = 1.96 \Rightarrow P = 0.05$$ (双尾) -
$$|z| = 2.58 \Rightarrow P = 0.01$$ (双尾) -
$$|z| > 1.96$$ 即意味着$$P < 0.05$$ 。
-
-
定义：检验单个样本的均值
$\bar{X}$ 是否显著不同于一个预设的已知值$\mu_0$ 。 -
统计量 (t-test):
$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$ -
关于时间维度 (Time Dimension):
- 通常情况：单样本检验是横截面的（比较当前样本 vs 标准值）。
-
特殊情况 (配对检验)：当进行“前后对比”（Pre-Post Analysis）时，我们会计算差值
$D_i = X_{after} - X_{before}$ 。对差值序列$D$ 做单样本检验（检验均值是否为0），本质上就是配对样本 t 检验 (Paired Sample t-test)。这是单样本检验处理时间维度最常见的方式。 - 注意：如果是长周期的时间序列数据（如股票价格），由于存在自相关性（Autocorrelation），不能直接使用简单的单样本检验，需使用时间序列模型。
-
Welch's t-test (韦尔奇 t 检验)
- 适用场景：比较两个独立样本的均值是否相等。不需要假设两个总体的方差相等（即具有异方差性），也不要求样本量相等。比 Student's t-test 更通用且稳健。
-
统计量:
$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{N_1} + \frac{s_2^2}{N_2}}}$$ -
$\bar{X}_i, s_i^2, N_i$ : 第$i$ 组的样本均值、样本方差、样本量。
-
- 自由度 (df): 计算较复杂（Welch–Satterthwaite equation），通常非整数。
参考：Cawley & Talbot：模型选择中的过拟合与评估选择偏差、Johari 等：Always Valid Inference for A/B Testing；Harness 案例见 HDA significance gate。
赢家诅咒（winner's curse）：从很多方案里挑观测收益最高者，也更容易挑中正向噪声。每个方案单独估计无偏，不保证挑出的赢家仍无偏。记第 j 个方案的真实收益为 Δ_j、估计误差为 ε_j：
简化到所有方案真实收益相同、m>1，误差独立同分布、非退化且均值为零时：
因此“先在同一集合选优，再对赢家做普通显著性检验”会高估证据强度：普通检验把方案当成事先固定，忽略了先前搜索。只对已选中的方案做 paired bootstrap，也不会自动把搜索与选择过程纳入不确定性。即使没有硬编码答案，反复根据总分调模型、prompt 或 harness，也能过拟合选型集。
| 问题 | 数据驱动的选择 | 需要处理什么 |
|---|---|---|
| 赢家诅咒 / 选择后推断 | 选提升最大的方案，再报其提升和区间 | 赢家效果通常被高估；用独立确认数据估计，或使用明确考虑选择过程的推断方法 |
| 多重比较 | 测多个版本、指标或人群，只报显著项 | 控制整组检验的错误率；预定义检验族，按目标使用 Holm / Bonferroni 等方法；校正 P 值不自动消除赢家点估计的偏差 |
| 反复查看并提前停止（optional stopping） | 每天看普通 P 值，一显著就停 | 停止规则也在利用噪声；固定预先约定的样本量 / 分析时间，或使用适配的序贯检验、always-valid 推断 |
多重比较的直观例子：若 m 个原假设都成立、检验相互独立且每次误报率为 α，则：
这是“整组至少一次误报”的概率，不是“某个赢家为假的概率”；共享对照组或相关指标下也不能直接套独立公式。
最直接的处理是：用开发／验证集选择方案，冻结后再用未参与选择的测试集评估。 冻结应覆盖方案、主要指标、分析和停止规则；划分按独立采样单位处理相关性与泄漏。若继续根据测试反馈修改方案，该集合也进入优化循环，需要新的独立测试，或明确考虑完整选择过程的方法。样本有限时，nested cross-validation 可让外层评估内层的选型流程；不能再根据外层成绩挑方案而仍把它当作未参与选择的证据。
多重比较、选择后估计和序贯监测是不同维度，可能同时存在；调整其中一个不自动解决其余问题。单纯多做几次 bootstrap、降低某次 P 值或随意加宽区间，都不能替代正确的实验设计。工程操作见 A/B Testing，模型外围代码搜索的实例见 Harness-Delta Attribution。
用于将多个独立的微小实验结果聚合，解决单次实验样本不足导致统计效力（Power）低下的问题。
-
符号检验 (Sign Test)
- 原理：一种非参数检验方法。将每个实验看作一次伯努利试验（Bernoulli Trial）。
-
假设：
-
$H_0$ : 新策略无正向效果，即单个实验正向的概率$P(Lift > 0) = 0.5$ 。 -
$H_1$ : 新策略有正向效果，即$P(Lift > 0) > 0.5$ 。
-
-
统计量：$N$ 个实验中正向结果的个数
$k$ 。服从二项分布$k \sim B(N, 0.5)$ 。 - P值计算：$P(X \ge k) = \sum_{i=k}^{N} \binom{N}{i} 0.5^N$。
-
固定效应模型 (Fixed Effect Model)
-
原理：假设所有实验都在测量同一个真实的总体效应值
$\theta$ （True Effect Size），观测值的差异仅源于抽样误差。 -
逆方差加权 (Inverse-Variance Weighting)：
- 为了获得最小方差无偏估计 (MVUE)，权重应与方差成反比。
- 权重
$w_i = \frac{1}{Var(\hat{\theta}_i)} \approx \frac{1}{\sigma_i^2}$ 。
-
聚合公式：
- 全局效应估计：$\hat{\theta}_{global} = \frac{\sum w_i \hat{\theta}_i}{\sum w_i}$
- 全局标准误：$SE(\hat{\theta}_{global}) = \frac{1}{\sqrt{\sum w_i}}$
- 全局 Z-score：$Z = \frac{\hat{\theta}{global}}{SE(\hat{\theta}{global})}$
-
原理：假设所有实验都在测量同一个真实的总体效应值
-
背景：在 AB 实验中，很多核心指标是比率形式（Ratio Metric），如
$CTR = \frac{\sum Clicks}{\sum Views}$ 。若定义$Y$ 为分子（如 Clicks），$X$ 为分母（如 Views），则指标估计量为$\hat{R} = \frac{\bar{Y}}{\bar{X}}$ 。 - 核心思想：利用泰勒展开（Taylor Expansion）将非线性函数近似为线性函数，从而估算其方差。
-
方差公式:
-
通用形式 (针对任意随机变量的商
$Y/X$ ):$$Var(\frac{Y}{X}) \approx \frac{1}{\mu_X^2} Var(Y) + \frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4} Var(X) - 2 \frac{\mu_Y}{\mu_X^3} Cov(X, Y)$$ -
样本均值形式 (常用工程公式):
$$Var(CTR) \approx \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{\mu_x^2} (\sigma_y^2 - 2R\sigma_{xy} + R^2\sigma_x^2)$$ - 公式关系: 这是通用公式在样本均值上的具体应用。
-
推导逻辑:
- 将
$Var(\bar{Y}) = \frac{\sigma_y^2}{N}, Var(\bar{X}) = \frac{\sigma_x^2}{N}, Cov(\bar{Y}, \bar{X}) = \frac{\sigma_{xy}}{N}$ 代入通用公式。 - 提取公因式
$\frac{1}{N}$ 得到该式。
- 将
-
符号含义:
-
$N$ : 样本量 (Sample Size)。 -
$\sigma_y^2, \sigma_x^2, \sigma_{xy}$ : 个体层面 (User-level) 数据的方差和协方差。 -
$R$ : 总体比率真值 ($\mu_y / \mu_x$ )。
-
-
通用形式 (针对任意随机变量的商
- 应用：计算 CTR、CVR 等比率指标的置信区间和显著性检验。
- 背景：在 AB 实验中，指标的方差越大，检测显著性所需的样本量就越大（Sensitivity 越低）。CUPED 是一种利用实验前数据（Pre-experiment Data）来降低指标方差的技术。
-
核心思想：利用实验前数据
$X$ （Covariate）与实验期间指标$Y$ 的相关性，移除$Y$ 中可以被$X$ 解释的方差部分。 -
修正公式：
$$Y_{cuped} = Y - \theta (X - E[X])$$ -
$Y$ : 实验期间的观测指标（如实验周的人均时长）。 -
$X$ : 实验前的协变量（如实验前一周的人均时长）。$X$ 必须不受实验干预影响（通常取实验前数据）。 -
$E[X]$ : 协变量的总体均值（通常用所有样本的均值估计）。 -
$\theta$ : 调节系数。
-
-
最优
$\theta$ 与方差缩减：- 使
$Var(Y_{cuped})$ 最小的$\theta$ 为：$$\theta^* = \frac{Cov(Y, X)}{Var(X)}$$ - 修正后的方差为：
$$Var(Y_{cuped}) = Var(Y) (1 - \rho^2)$$ - 其中
$\rho$ 是$Y$ 和$X$ 的相关系数。相关性越高，方差缩减效果越好。
- 使
-
性质：
-
无偏性：$E[Y_{cuped}] = E[Y]$，即修正后的指标均值期望不变（假设
$E[X]$ 估计准确）。 -
独立性：协变量
$X$ 的选择必须独立于实验干预（Pre-experiment data 天然满足）。
-
无偏性：$E[Y_{cuped}] = E[Y]$，即修正后的指标均值期望不变（假设
-
Silhouette coefficient（轮廓系数）是一种用于评估聚类效果的指标，它综合考虑了聚类的紧密性和分离性，能有效衡量一个样本与其所属聚类以及相邻聚类之间的关系，其具体信息如下：
-
定义与计算方式 - 对于样本
$$i$$ ，设$$a(i)$$ 为样本$$i$$ 到其所属聚类$$C$$ 中其他样本的平均距离，反映了样本在其所属聚类内的紧密程度。计算方式为$$a(i)=\frac{1}{|C|-1}\sum_{j\in C,j\neq i}d(i,j)$$ ，其中$$d(i,j)$$ 是样本$$i$$ 和$$j$$ 之间的距离度量（如欧几里得距离），$$|C|$$ 是聚类$$C$$ 中的样本数量。 - 设$$b(i)$$ 为样本$$i$$ 到与其相邻最近聚类$$C'$$ 中所有样本的平均距离，衡量了样本与其他聚类的分离程度。通过计算样本$$i$$ 到所有其他聚类的平均距离，并取最小值作为$$b(i)$$ 。 - 样本$$i$$ 的轮廓系数$$s(i)$$ 计算公式为$$s(i)=\frac{b(i)-a(i)}{\max{a(i),b(i)}}$$ ，其取值范围在$$[-1,1]$$ 之间。_ - _ - 取值意义 - 当
$$s(i)$$ 接近 1 时，表示样本$$i$$ 与所属聚类内的样本距离较近，且与相邻聚类的样本距离较远，说明聚类效果较好，样本被合理地划分到了当前聚类中。 - 当$$s(i)$$ 接近 0 时，表明样本$$i$$ 处于两个聚类的边界附近，其所属聚类可能不太明确，聚类效果有待提高。 - 当$$s(i)$$ 接近 -1 时，意味着样本$$i$$ 可能被错误地划分到了当前聚类，它与相邻聚类的样本更为相似，聚类效果较差。 -
-
整体评估：通常会计算数据集中所有样本的轮廓系数，并取平均值作为整个数据集的轮廓系数。该平均值越高，说明聚类的整体质量越好；反之，则表示聚类效果不佳，可能需要调整聚类算法的参数或尝试其他聚类方法。例如，在一个包含
$$n$$ 个样本的数据集上，整体轮廓系数$$S=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}s(i)$$ 。
-
整体评估：通常会计算数据集中所有样本的轮廓系数，并取平均值作为整个数据集的轮廓系数。该平均值越高，说明聚类的整体质量越好；反之，则表示聚类效果不佳，可能需要调整聚类算法的参数或尝试其他聚类方法。例如，在一个包含
-
定义与计算方式 - 对于样本
-
Jaccard相似度：是用于比较样本集的相似性与多样性的统计量，雅卡尔系数能够量度有限样本集合的相似度，其定义为两个集合交集大小与并集大小之间的比例
- 文本相似度
-
定义:
$D_{KL}(P||Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}$ - 解读: 衡量用分布 Q 近似真实分布 P 时的信息损失。也称相对熵 (Relative Entropy)。
- 有向的度量
-
性质: 非负性
$D_{KL}(P||Q) \ge 0$ (吉布斯不等式)，仅当 P=Q 时取0。不具有对称性，即$D_{KL}(P||Q) \neq D_{KL}(Q||P)$ 。
信息熵是度量随机变量不确定性的指标。变量熵值越大，不确定性越高，包含信息量越大。
对于离散随机变量
$ H(X) = - \sum_{i=1}^{n} p_i \log_b(p_i) $
- 当
$p_i=0$ 时，约定$0 \log 0 = 0$ - 对数底
$b$ 取2时单位为比特(bit)，取自然对数时为奈特(nat)
本质是事件信息量的数学期望，单个事件信息量为
- 非负性：$H(X) \ge 0$，仅当变量为确定值时取等号
- 对称性：熵值仅与概率分布相关，与变量具体取值无关
-
可加性：独立变量联合熵等于各自熵之和
$H(X,Y)=H(X)+H(Y)$
结论：$n$ 个取值的离散变量，当且仅当服从均匀分布
证明（使用KL散度）：
设
$ \sum p_i \log p_i \ge \sum p_i \log(1/n) \implies -H(X) \ge -\log(n) \implies H(X) \le \log(n) $
等号仅在
-
定义:
$H(P, Q) = -\sum_x P(x) \log Q(x)$ - 解读: 在机器学习中，P 通常为真实标签的 one-hot 分布，Q 为模型预测的概率分布。交叉熵损失函数衡量了模型预测与真实的差异。
-
关系:
$H(P, Q) = H(P) + D_{KL}(P||Q)$ 。当真实分布 P (即熵 H(P)) 固定时，最小化交叉熵等价于最小化 KL 散度。
- Milgrom, Paul R., and Steven Tadelis.How artificial intelligence and machine learning can impact market design. No. w24282. National Bureau of Economic Research, 2018.
- https://cloud.tencent.com/developer/article/1530214
-
Game Theory
- The basic assumptions that underlie the theory are that decision-makers pursue well-defined exogenous objectives (they are rational) and take into account their knowledge or expectations of other decision-makers’ behavior (they reason strategically).
- 对现实的指导
- the theory of Nash equilibrium (Chapter 2) has been used to study oligopolistic and politi- cal competition.
- The theory of mixed strategy equilibrium (Chapter 3) has been used to explain the distributions of tongue length in bees and tube length in flowers.
- The theory of repeated games (Chapter 8) has been used to illuminate social phenomena like threats and promises.
- The theory of the core (Chapter 13) reveals a sense in which the outcome of trading under a price system is stable in an economy that contains many agents.
-
Games and Solutions
- Noncooperative and Cooperative Games
- Noncooperative：Part 1、2、3； Cooperative：Part 4
- Strategic Games and Extensive Games
- 1； 2、3
- Games with Perfect and Imperfect Information
- 2；3
- Noncooperative and Cooperative Games
-
Game Theory and the Theory of Competitive Equilibrium
- competitive reasoning（经济学中的概念）只关注外部环境变量来做决策，不关注其他agent的决策
-
Rational Behavior
- A set A of actions from which the decision-maker makes a choice.
- A set C of possible consequences of these actions.
- A consequence function g:A → C that associates a consequence with each action.
- if the consequence function is stochastic and known to the decision-maker
- maximizes the expected value
- If not known: 引入状态空间，he is assumed to choose an action a that maximizes the expected value of u(g(a,ω))
- A preference relation (a complete transitive reflexive binary relation) on the set C.
- utility function
-
The Steady State and Deductive Interpretations
- The Steady State treats a game as a model designed to explain some regularity observed in a family of similar situations.
- Each participant “knows” the equilibrium and tests the optimality of his behavior given this knowledge, which he has acquired from his long experience.
- Deductive Interpretations treats a game in isolation, as a “one-shot” event, and attempts to infer the restrictions that rationality imposes on the out- come; it assumes that each player deduces how the other players will behave simply from principles of rationality
- The Steady State treats a game as a model designed to explain some regularity observed in a family of similar situations.
-
Bounded Rationality
- asymmetry between individuals in their abilities
- Modeling asymmetries in abilities and in perceptions of a situation by different players is a fascinating challenge for future research
-
Terminology and Notation
-
increasing、nondecreasing function
-
concave
-
arg maxx∈X f (x) the set of maximizers of f
-
Throughout we use N to denote the set of players. We refer to a collection of values of some variable, one for each player, as a profile (xi)
-
A binary relation on set的可能的性质: complete、reflexive、transitive
- A preference relation is a complete reflexive transitive binary relation.
-
A preference relation的性质
-
连续性：序列收敛
-
quasi-concave
-
-
Pareto efficient 和 strongly Pareto efficient
-
Pareto efficient：没被碾压
-
strongly Pareto efficient ：没人有任何方面对我有优势
-
A probability measure μ on a finite (or countable) set X is an additive function that associates a nonnegative real number with every subset of X
-
- strategic game = game in normal form
- This model specifies for each player a set of possible actions and a preference ordering over the set of possible action profiles.
-
Strategic Games
- A strategic game is a model of interactive decision-making in which each decision-maker chooses his plan of action once and for all, and these choices are made simultaneously
- finite/非有限
- 分析：
- the range of application of the model is limited by the requirement that we associate with each player a preference relation
- 限定过于宽松，难以得出重大结论
- a player can form his expectation of the other players’ behavior
- A sequence of plays of the game can be modeled by a strategic game only if there are no strategic links between the plays.
- The model of a repeated game discussed in Chapter 8 deals with series of strategic interactions in which such intertemporal links do exist.
- 拓展：
- To do so we introduce a set C of consequences, a function g:A → C that associates consequences with action profiles, and a profile (∗i ) of preference rela- tions over C.
- a function g: A × Ω → C with the interpretation that g(a, ω) is the consequence when the action profile is a ∈ A and the realization of the random variable is ω ∈ Ω
- 引入之后，the lottery over C induced by g(a,·) is at least as good according ...，似乎更严格了
- payoff function
- denote：⟨N, (Ai), (ui)⟩
- 2 player时的矩阵表示：the convention is that the row player is player 1 and the column player is player 2
-
Nash Equilibrium
- 分析：
- This notion captures a steady state of the play of a strategic game in which each player holds the correct expectation about the other players’ behavior and acts rationally.
- It does not attempt to examine the process by which a steady state is reached.
- 延伸：一种可能的求解纳什均衡的方式，N个best-response function(如果是单值)
-
Examples
-
Example 15.3 (Bach or Stravinsky? (BoS))
- 元素1在列中最大、元素2在行中最大
-
囚徒困境
-
鹰鸽博弈
- 是一种Symmetric games，但只存在 asymmetric equilibria
-
Matching Pennies
- Such a game, in which the interests of the players are diametrically opposed, is called “strictly competitive”. The game Matching Pennies has no Nash equilibrium.
-
Exercise 18.2 first-price auction
- 注意lowest index的约束
-
in a second price auction the bid vi of any player i is a weakly dominant action
-
An equilibrium in which player j obtains the good is that in which b1 < vj, bj > v1, and
bi = 0 for all players i ∈/ {1,j}.
-
-
Example 18.4 (A war of attrition)
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Example 18.6 (A location game)
- There is no equilibrium in which all three players become candidates
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Note：
- Every SNE is weakly Pareto-efficient https://en.wikipedia.org/wiki/Strong_Nash_equilibrium
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Existence of a Nash Equilibrium
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表述为 a∗ ∈ B(a∗)
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Lemma 20.1 (Kakutani’s fixed point theorem角谷静夫不动点定理)
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- 注意不适用于有限actions集合的情况
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Strictly Competitive Games
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定义strictly competitive
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for a strictly competitive game that possesses a Nash equilibrium, a pair of actions is a Nash equilibrium if and only if the action of each player is a maxminimizer
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for strictly competitive games that possess Nash equilibria all equilibria yield the same payoffs.
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part c提供一种场景的解法
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by parts (a) and (c), the Nash equilibria of a strictly competitive game are interchangeable: if (x, y) and (x′, y′) are equilibria then so are (x, y′) and (x′, y).
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Thus in any game (whether or not it is strictly competitive) the payoff that player 1 can guarantee herself is at most the amount that player 2 can hold her down to
- 需要额外条件来确保存在纳什均衡
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Part b: this payoff, the equilibrium payoff of player 1, is the value of the game
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strictly competitive game中，增加payoff一定不会让value有损失；减少操作空间只可能让value有损失
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Bayesian Games: Strategic Games with Imperfect Information
- 定义：Definition 25.1 A Bayesian game
- We model the players’ uncertainty about each other by introducing a set Ω of possible “states of nature”, each of which is a description of all the players’ relevant characteristics. For convenience we assume that Ω is finite. Each player i has a prior belief about the state of nature given by a probability measure pi on Ω.
- signal functions
- 先验信号
- 分析：
- player has imperfect information about the state of nature
- 用处：
- a state of nature is a profile of parameters of the players’ preferences (for example, profiles of their valuations of an ob- ject)
- player is uncertain about what the others know.（section 2.6.3
- bayesian game的纳什均衡
- Exercise 28.1 (An exchange game）
- in any Nash equilibrium the highest prize that either player is willing to exchange is the smallest possible prize.
- 贝叶斯纳什均衡的习题例子：https://www.cnblogs.com/haohai9309/p/17753112.html
- A Bayesian game can be used to model not only situations in which each player is uncertain about the other players’ payoffs, as in Exam- ple 27.1, but also situations in which each player is uncertain about the other players’ knowledge.
- we can let Ω = Θ × (×i∈N Xi) be the state space and use the model of a Bayesian game to capture any situation in which players are uncertain not only about each other’s payoffs but also about each other’s beliefs.
- 定义：Definition 25.1 A Bayesian game
- Mixed Strategy Nash Equilibrium
- Game theory provides a framework based on the construction of rigorous models that describe situations of conflict and cooperation between rational decision makers.
- 大家有没有比较推荐的博弈论的书？ - 子不语D的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/446554214/answer/1751901215
- 学习博弈论，从入门、进阶到精通，如何列书单？ - 食其的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20266302/answer/76445562
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神经网络的万能逼近公式
（来源LHUC paper)
- 每条边代表一个参数
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神经网络扰动
- Hessian-based Analysis of Large Batch Training and Robustness to Adversaries 分析了Hessian特征值和神经网络扰动的关系
- Q-Bert 计算最大特征值：通过两次反向传播计算Hv，幂迭代法 Power Iteration
- Training Deep and Recurrent Networks with Hessian-Free Optimization 完整综述
- 应用：量化分析，Q-Bert
- Hessian-based Analysis of Large Batch Training and Robustness to Adversaries 分析了Hessian特征值和神经网络扰动的关系
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2024 诺贝尔物理学奖授予人工神经网络机器学习，为什么会颁给 AI 领域？ - SIY.Z的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/777943030/answer/4508673022
- RBM 受限玻尔兹曼机
- sigmoid 函数有了自然的解释：玻尔兹曼分布下隐含层神经元激活的条件概率的激活函数。
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大模型是不是能够稀疏化?
- 从物理和能量密度/信息密度的角度来看, 似乎是可以的.
- 但是从范畴论的角度, 特别是预层范畴的角度来看待,Dense的Foundation Model训练是必须要做的, 因为只有在相对Dense的模型结构上才能更好的捕获所有的态射.
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TOPOS理论 在ML的应用
- on the diagram of thought https://github.com/diagram-of-thought/diagram-of-thought
https://arxiv.org/pdf/2206.13446
https://web.eecs.umich.edu/~justincj/teaching/eecs442/notes/linear-backprop.html
好的，这是一个非常深刻的问题。要从数学上理解 VQ-VAE 中的 "variational"，我们必须先回到它的“父辈”——标准的 VAE（Variational Autoencoder），理解 "variational" 在那里意味着什么，然后再看 VQ-VAE 是如何继承、修改和“绕过”这个概念的。
一个标准的生成模型的目标是学习数据的真实分布 p(x)。我们通常引入一个隐变量 z 来实现这一点，假设数据 x 是由 z 生成的。我们希望最大化数据的边际似然 p(x)：
p(x) = ∫ p(x|z) p(z) dz
p(z)是先验分布，通常我们假设它是一个简单的分布，比如标准正态分布N(0, I)。p(x|z)是由解码器（Decoder）建模的似然，表示给定一个隐变量z，生成数据x的概率。
这个积分通常是无法直接计算的 (intractable)，因为它需要在整个隐空间上进行积分。
Variational Inference (变分推断) 的登场:
既然无法直接优化 p(x)，我们就需要一个近似的方法。变分推断的核心思想是：我们引入一个近似的后验分布 q(z|x) 来模拟真实的、但无法计算的后验分布 p(z|x)。
p(z|x): 真实的后验。给定一个数据点x，它对应的隐变量z的真实分布是怎样的？这个我们算不出来，因为它依赖于p(x)。q_φ(z|x): 近似的后验。我们用一个简单的、可参数化的分布（例如高斯分布）来近似它。编码器（Encoder）的工作就是学习这个分布的参数φ（例如，给定x，输出对应的高斯分布的均值μ和方差σ²）。
我们的目标是让 q_φ(z|x) 尽可能地接近 p(z|x)。衡量两个分布之间距离的工具是 KL 散度。我们希望最小化 KL(q_φ(z|x) || p(z|x))。
经过一系列数学推导（这是变分推断的核心），可以证明，最小化这个 KL 散度等价于最大化证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO)：
log p(x) ≥ L_ELBO = E_{z~q_φ(z|x)}[log p_θ(x|z)] - KL(q_φ(z|x) || p(z))
这个 ELBO 就是 VAE 的损失函数（取负号后最小化）：
E_{z~q_φ(z|x)}[log p_θ(x|z)]: 重构项 (Reconstruction Term)。从编码器得到的分布q_φ中采样一个z，然后让解码器p_θ尽力去重构出原始的x。- 理解
p_θ：模型的参数化
- 理解
KL(q_φ(z|x) || p(z)): 正则化项 (Regularization Term)。它是一个 KL 散度，惩罚近似后验q_φ与先验p(z)之间的差异。这迫使编码器产生的隐空间结构化，使其接近于一个标准正态分布，从而使得我们可以在生成新样本时方便地从N(0, I)中采样。
小结：标准 VAE 的 "Variational" 来自于变分推断，即使用一个参数化的分布 q_φ(z|x) 去近似真实的后验 p(z|x)，并通过最大化 ELBO 来同时优化模型的重构能力和隐空间的结构。
VQ-VAE 的核心创新是引入了一个离散的隐空间，通过一个码本（Codebook）E = {e_1, e_2, ..., e_K} 来实现。
其过程如下：
- 编码器
Encoder(x)输出一个连续的向量z_e(x)。 - 通过最近邻查找，找到码本
E中与z_e(x)最接近的码本向量e_k。 - 将这个被量化 (Quantized) 的向量
e_k送入解码器Decoder(e_k)来重构x。
这里的关键在于第二步的“最近邻查找”：k = argmin_j ||z_e(x) - e_j||²。这个 argmin 操作是不可微分的。
这导致了标准 VAE 框架的两个关键部分失效了：
- 无法重参数化采样: 我们不能再从一个连续的分布
q_φ(z|x)中平滑地采样。选择是“硬性”的，要么是e_1，要么是e_2，没有中间状态。 - KL 散度项消失: 标准的
KL(q_φ(z|x) || p(z))公式是为连续分布（如高斯分布）设计的，现在隐空间是离散的，这个公式不再适用。
那么，如果 VAE 的核心数学工具 ELBO 看起来被打破了，为什么它还叫 VQ-VAE 呢？
这是最精妙的部分。VQ-VAE 的作者在论文中给出了一个数学解释，将它重新纳入了变分推断的框架，但形式非常特殊。
感觉不难想到，只要把数学意义对上即可
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后验分布
q(z|x)的新定义: 在 VQ-VAE 中，后验分布q(z|x)变成了一个确定性的离散分布。对于给定的x，编码和量化过程会唯一确定一个码本向量e_k。所以，后验分布可以看作是一个 one-hot 分布：q(z=e_k | x) = 1(如果e_k是z_e(x)的最近邻)q(z=e_j | x) = 0(对于所有j ≠ k) -
先验分布
p(z)的新定义: 先验分布p(z)不再是高斯分布，而是在K个码本向量上的一个均匀离散分布。也就是说，我们先验地认为任何一个码本向量被选中的概率都是相等的：p(z=e_j) = 1/K(对于所有j = 1, ..., K) -
KL 散度项的坍缩: 现在我们来计算这个新的离散框架下的 KL 散度
KL(q(z|x) || p(z))：KL = Σ_{j=1 to K} q(z=e_j | x) * log( q(z=e_j | x) / p(z=e_j) )由于
q(z|x)是一个 one-hot 分布，这个求和中只有一项（当j=k时）不为零：KL = 1 * log( 1 / (1/K) ) = log(K)
结论：KL 散度项变成了一个常数 log(K)！
在模型优化中，一个常数项的梯度为零，对参数更新没有任何贡献。因此，在 VQ-VAE 的最终损失函数中，这个 KL 散度项被直接忽略了。
既然 KL 正则项在数学上“消失”了，那模型如何学习呢？VQ-VAE 设计了新的损失函数来替代 ELBO 的功能：
最大化L = - log p(x | z_q(x)) + ||sg[z_e(x)] - e_k||² + β * ||z_e(x) - sg[e_k]||²
log p(x | z_q(x)): 重构损失。本质是decoder，这和 VAE 中的重构项目的一样。- 比如
C * ||x - x_hat||²
- 比如
||sg[z_e(x)] - e_k||²: 码本损失 (Codebook Loss)。sg是stop_gradient算子。这个损失项用于更新码本向量e_k，让它向编码器的输出z_e(x)靠拢。β * ||z_e(x) - sg[e_k]||²: 承诺损失 (Commitment Loss)。这个损失项用于更新编码器。它鼓励编码器的输出z_e(x)“承诺”于它所映射到的那个码本向量e_k，防止编码器的输出空间无限增长而码本更新跟不上。这可以被看作是 VAE 中 KL 散度项的替代品，起到了正则化编码器的作用。- β = 0.25，比较鲁棒
同时，为了解决 argmin 不可导的问题，VQ-VAE 使用了直通估计器 (Straight-Through Estimator, STE)，在反向传播时，直接将解码器输入端 e_k 的梯度复制给编码器输出端 z_e(x)，从而让编码器可以被训练。
对角协方差 (Diagonal Covariance) : 这同样是一个为了 简化计算 而做出的关键假设。我们假设，给定数据 x ，其对应的隐变量 z 的各个维度是条件独立的。
- 数学意义 : q_φ(z|x) 的协方差矩阵是一个对角矩阵，非对角线元素为 0。这意味着 z 的联合概率密度可以分解为各个维度边缘概率密度的乘积： q(z_1, z_2, ...|x) = q(z_1|x) * q(z_2|x) * ... 。
- 实践意义 :
- 编码器输出简化 : 编码器只需要为 z 的 d 个维度输出 d 个均值和 d 个方差，总共 2d 个数值，而不需要输出一个包含 d*(d+1)/2 个独立数值的完整协方差矩阵。
- KL 散度可解析计算 : 这是最重要的一个好处。当 q_φ(z|x) 和 p(z) 都是对角协方差的高斯分布时，它们之间的 KL 散度有一个 解析解 (closed-form solution) ，可以直接用公式计算出来，而无需进行复杂的蒙特卡洛采样估计。
$$KL( N(μ, σ²) || N(0, I) ) = 0.5 * Σ (σ² + μ² - 1 - log(σ²))$$ - 这个公式可以直接嵌入到损失函数中，并且是完全可微分的。如果没有这个解析解，VAE 的训练将变得极其困难。
这个技巧的核心思想是： 将随机性与模型的参数分离开，从而打通梯度路径，可以通过构造源源不断的随机数据，去学习模型参数
我们不直接从 z ~ N(μ_φ(x), σ²_φ(x)) 中采样，而是通过以下方式构造 z ：
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从一个 固定的、与模型参数无关的 标准正态分布中采样一个随机噪声 ε 。即 ε ~ N(0, I) 。
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通过一个确定性的函数来生成 z ： z = μ_φ(x) + σ_φ(x) * ε
- 数学上的理解: VQ-VAE 中的 "variational" 是一种概念上的继承。它在理论上可以被解释为一个特殊的 VAE，其后验是一个确定性的离散分布，先验是一个均匀的离散分布。在这种特殊情况下，ELBO 中的 KL 散度项坍缩成一个常数，因此在最终的优化目标中被省略。
- 实践上的理解: VQ-VAE 用一个码本和承诺损失取代了标准 VAE 中的 KL 散度正则化。它不再强制隐空间服从高斯分布，而是强制编码器的输出被“绑定”到一个共享的、离散的码本上，通过这种方式来正则化隐空间。
所以，称其为 "Variational" 是为了表明它与 VAE 的师承关系和作为生成模型的共同目标，尽管它为了引入离散隐空间，在数学实现上走了另一条巧妙的道路。
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$$E_{S}=E_CE_U$$ ->$$e_s^x={E_U}^Te_c^x$$ -
最小二乘法：
- 考虑线性方程组
$$Ax = b$$ ，当该方程组无解（即$$b$$ 不在$$A$$ 的列空间中）时，我们希望找到一个$$\hat{x}$$ 使得$$|Ax - b|^2$$ 最小。 - 此时，$$\hat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb$$，$$A\hat{x}=A(A^TA)^{-1}A^Tb$$
- 即
$$A\hat{x}$$ 是$$b$$ 在$$A$$ 的列空间上的投影，$$A\hat{x}$$ 与$$b$$ 的误差在所有可能的$$Ax$$ 中是最小的。
- 考虑线性方程组
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$$E_U^T E_U=\left(U_1,U_2,U_3, ... U_u\right)\left(\begin{array}{c}{U_1}^T\{U_2}^T\{U_3}^T\...\{U_u}^T\end{array}\right) = \sum_{i=1}^uU_i{U_i}^T$$
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求解SVD
$$A = U\Sigma V^T \Rightarrow A^T = V\Sigma U^T \Rightarrow A^T A = V\Sigma U^T U\Sigma V^T = V\Sigma^2 V^T$$ $$A^{-1}=(U \Sigma V^T)^{-1} = (V^T)^{-1} \Sigma^{-1} U^{-1} = V \Sigma^{-1} U^T$$
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SVD分解(一)：自编码器与人工智能 —— 苏剑林
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不带激活函数的三层自编码器，跟传统的SVD分解是等价的。
- 我们降维，并不是纯粹地为了减少储存量或者减少计算量，而是**“智能”的初步体现**
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SVD
- (m+n)k < mn
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自编码器
- 无视激活函数，只看线性结构。自编码器是希望训练一个f(x)=x的恒等函数，但是中间层节点做了压缩
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压缩即智能
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通过压缩后进行重建，能够挖掘数据的共性，即我们所说的规律，然后得到更泛化的结果
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我们通过SVD分解，原始的目的可能是压缩、降维，但复原后反而衍生出了更丰富、词汇量更多的结果。
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将结巴分词的词表中所有频数不小于100的二字词选出来，然后以第一字为行，第二字为列，频数为值（没有这个词就默认记为0），得到一个矩阵。对这个矩阵做SVD分解，得到两个矩阵，然后把这两个矩阵乘起来（复原），把复原后的矩阵当作新的频数，然后对比原始矩阵，看看多出了哪些频数较高的词语。
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激活函数在这里的物理意义
- 是对无关紧要元素的一种舍弃（截断），这种操作，我们在很久之前的统计就已经用到了（扔掉负数、扔掉小统计结果等）。
- 当然，在神经网络中，激活函数有更深刻的意义，但在浅层的网络（矩阵分解）中，它给我们的直观感受，就是截断罢了。
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SVD的聚类含义
- https://spaces.ac.cn/archives/4216
- 转化为三个矩阵相乘
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word2vec是SVD
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词向量Embedding层 = one hot的全连接层
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在做情感分类问题时，如果有了词向量，想要得到句向量，最简单的一个方案就是直接对句子中的词语的词向量求和或者求平均，这约能达到85%的准确率。
- FastText，多引入了ngram特征，来缓解词序问题，但总的来说，依旧是把特征向量求平均来得到句向量
- 本质上是 词袋模型
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word embedding和SVD的联系
- distributed representation，即分布式表示，N维embedding
- 设想开一个窗口（前后若干个词加上当前词，作为一个窗口），然后统计当前词的前后若干个词的分布情况，就用这个分布情况来表示当前词，而这个分布也可以用相应的NN维的向量来表示
- SVD将distributed representation降维到k维
- Word2Vec的一个CBOW （continuous bag-of-words）方案是，将前后若干个词的词向量求和，然后接一个NN维的全连接层，并做一个softmax来预测当前词的概率
- distributed representation，即分布式表示，N维embedding
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word2vec和svd的区别
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1、Word2Vec的这种方案，可以看作是通过前后词来预测当前词，而自编码器或者SVD则是通过前后词来预测前后词；
2、Word2Vec最后接的是softmax来预测概率，也就是说实现了一个非线性变换，而自编码器或者SVD并没有。
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SVD，计算量大
- 稀疏SVD
- 平均值补全
- 随机投影或Lanczos迭代
- 稀疏SVD
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FunkSVD
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BiasSVD
- 考虑 评分系统平均分μ,第i个用户的用户偏置项,第j个物品的物品偏置项
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SVD++算法在BiasSVD算法上进一步做了增强，这里它增加考虑用户的隐式反馈
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文档矩阵、主题模型
- Aij表示第 i 个文档中第 j 个词的出现情况
- 词频/ TF-IDF
- Aij表示第 i 个文档中第 j 个词的出现情况
- 特征值求解
- 幂迭代法 Power Iteration 求解最大特征值
- QR算法
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矩阵的谱范数 (Spectral Norm)
- 对于一个矩阵
$$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$ ，其 谱范数 （也称为2-范数，$$||A||_2$$）被定义为： - $$||A||2 = \sup{x \neq 0} \frac{||Ax||_2}{||x||_2}$$
- 最大“拉伸”比例
- 对于一个矩阵
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谱范数也等于矩阵
$$A$$ 的 最大奇异值 (Largest Singular Value) ，记为$$\sigma_{max}(A)$$ 。 $$||A||2 = \sigma{max}(A) = \sqrt{\lambda_{max}(A^T A)}$$ 其中，$$\lambda_{max}(A^T A)$$ 表示矩阵$$A^T A$$ 的最大特征值。 -
范数的次可乘性 (Submultiplicativity)
- 如果对于任意两个可相乘的矩阵
$$A$$ 和$$B$$ ，都满足不等式$$||AB|| \leq ||A|| \cdot ||B||$$
- 如果对于任意两个可相乘的矩阵
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证明 :
- 利用谱范数的定义（$$||Az||_2 \leq ||A||_2 \cdot ||z||_2$$）：$$||A(Bx)||_2 \leq ||A||_2 \cdot ||Bx||_2$$
- ---->
$$||AB||_2 \leq ||A||_2 \cdot ||B||_2$$
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定义: 矩阵
$J$ 的条件数 $\kappa(J) = ||J||2 \cdot ||J^{-1}||2 = \frac{\sigma{max}(J)}{\sigma{min}(J)}$。它衡量了矩阵对输入扰动的敏感度，即最大拉伸与最大压缩的比率。 -
分析:
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$\kappa(J_l) \approx 1$ 表示该层是“良态的 (well-conditioned)”，对不同方向的误差分量处理方式相似。 -
$\kappa(J_l) \gg 1$ 表示该层是“病态的 (ill-conditioned)”，变换是高度“各向异性 (anisotropic)”的。它会沿某些方向（最大奇异向量方向）急剧放大误差，同时沿另一些方向（最小奇异向量方向）急剧缩小误差。 - 在深度网络中，多个病态层的累积效应会导致训练极其不稳定，部分梯度爆炸而另一部分梯度消失同时发生。
-
-
证明：
-
$$||J||_2 = \sigma {max}(J)$$ 。 -
$$||J|| 2^2 = \sup {x \neq 0} \frac{(Jx)^T(Jx)}{x^T x} = \sup {x \neq 0} \frac{x^T J^T J x}{x^T x}$$ -
这个表达式
$$\frac{x^T (J^T J) x}{x^T x}$$ 是矩阵$$J^T J$$ 的 瑞利商 (Rayleigh Quotient) 。根据瑞利商的性质，其最大值等于该矩阵的最大特征值。令$$\lambda_{max}(J^T J)$$ 为矩阵$$J^T J$$ 的最大特征值。$$||J||_2^2 = \lambda {max}(J^T J)$$ -
根据奇异值的定义，矩阵
$$J$$ 的奇异值$$\sigma_i(J)$$ 是矩阵$$J^T J$$ 的特征值的平方根。因此，$$J$$ 的最大奇异值$$\sigma_{max}(J)$$ 等于$$\sqrt{\lambda_{max}(J^T J)}$$ 。 -
证明
$$||J^{-1}||_2 = \frac{1}{\sigma {min}(J)}$$ 。- 利用奇异值分解
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matrix vector derivatives for machine learning.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition
- 分解 a Hermitian positive-definite matrix A
- e.g.
- 解方程：提升数值计算稳定性
- non linear optimization
- GPTQ
todo 《Optimization in Theory and Practice》
- hill climbing https://en.wikipedia.org/wiki/Hill_climbing
- 多元函数，每次只改变一个输入
- 容易陷入local maxima
【NASA公开课：凸优化如何实现飞行器精准制导 | Behçet Açıkmeşe讲座【中英双语】-哔哩哔哩】 NASA公开课：凸优化如何实现飞行器精准制导 | Behçet Açıkmeşe讲座【中英双语】_哔哩哔哩_bilibili
- 完备的度量空间是泛函分析中的重要概念，其核心性质是所有柯西序列都收敛到该空间中的某个点。
- 核心在于确保 “所有潜在的极限点都存在于空间内”
- 用特征线方法与傅里叶变换求解偏微分方程
- 皮卡迭代
- 玻色爱因斯坦凝聚与Boltzmann-Nordheim方程
- 利用测试函数，求弱解
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环（ring），是抽象代数的基本结构，指非空集合 $$ R $$ 配以加法与乘法两种二元运算，满足：
- $$ (R, +) $$ 是阿贝尔群（加法交换、有逆元等）；
- 乘法结合律 $$ (ab)c = a(bc) $$；
- 乘法对加法的左右分配律 $$ a(b + c) = ab + ac
$$、$$ (a + b)c = ac + bc $$。 - 环在数学与工程领域应用广泛，为众多数学分支及实际应用提供了统一的代数框架，是理解和解决复杂问题的重要工具：
- 在密码学中，其结构用于设计加密算法；
- 代数几何里，环帮助刻画空间与函数性质；
- 编码理论中，借助环的特性构造高效编码，提升数据传输可靠性与效率。
- Lp空间
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一致凸空间
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Lp空间的一致凸性
